Red Mandala

Se definen por construcción en [1] como un gráfico matemático con ciertas reglas para la distribución de nodos y aristas en cada shell, y cómo se conectan a los nodos en el shell a continuación. Se caracterizan por ser

Mundo ultrapequeño
Muy escaso

En el método básico para la construcción, las redes Mandala se caracterizan por tres parámetros ${\ displaystyle (n_ {1}, b, \ lambda)}$ ${\ displaystyle (n_ {1}, b, \ lambda)}$ , dónde ${\ displaystyle n_ {1}}$ ${\ displaystyle n_ {1}}$ es el número de nodos en la primera generación, ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle b}$ es el número de nuevos nodos agregados a cada nodo en shells posteriores, y ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ es el número de conexiones entre nodos en el mismo shell (que no sea el primer shell). La elección de estos parámetros determina un tipo de red Mandala, donde una red Mandala única se determina por tipo y número total de shells ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle g}$ .

En el primer caparazón hay ${\ displaystyle n_ {1}}$ ${\ displaystyle n_ {1}}$ nodos que forman un gráfico conectado. Se crea un segundo shell conectando cada nodo en el primer shell con ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle b}$ nodos en el segundo shell, y conectando cada nodo en el segundo shell a ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ nodos en el segundo caparazón. Este método se utiliza para crear un tercer shell donde, además, cada nodo también está conectado a su nodo ancestro en el primer shell. Este proceso puede repetirse iterativamente para crear ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle g}$ conchas Debido a que cada nodo está conectado directamente a un nodo en el primer shell, y cada nodo en el primer shell está directamente a otro nodo en el primer shell, la longitud máxima de la ruta más corta entre los nodos es 3.

Si el número de nodos en cada shell está etiquetado por ${\ displaystyle n_ {i}}$ ${\ displaystyle n_ {i}}$ entonces el número total de nodos en la red viene dado por

${\ displaystyle N = \ sum _ {i = 1} ^ {g} n_ {i}}$ ${\ displaystyle N = \ sum _ {i = 1} ^ {g} n_ {i}}$ .

Debido a la simetría de la construcción, la longitud media del camino más corto viene dada por

${\ displaystyle \ langle l \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {g} n_ {i} \ phi _ {i}}$ ${\ displaystyle \ langle l \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {g} n_ {i} \ phi _ {i}}$

dónde ${\ displaystyle \ phi _ {i}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {i}}$ es la suma de las longitudes de ruta más cortas que conectan un nodo en el ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle i}$ -th shell con todos los demás nodos en la red. Se puede demostrar que

${\ displaystyle \ langle l \ rangle = \ alpha + {\ frac {O (N)} {N ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ langle l \ rangle = \ alpha + {\ frac {O (N)} {N ^ {2}}}}$

dónde ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ es una constante que puede determinarse para cada red. Se puede demostrar que ${\ displaystyle 1 \ leq \ alpha <{\ frac {8} {3}}}$ ${\ displaystyle 1 \ leq \ alpha <{\ frac {8} {3}}}$ , dónde ${\ displaystyle \ alpha \ to {\ frac {8} {3}}}$ ${\ displaystyle \ alpha \ to {\ frac {8} {3}}}$ como ${\ displaystyle N \ to \ infty}$ ${\ displaystyle N \ to \ infty}$ .

Referencias

(1) Mandala Networks: gráficos de mundo ultrapequeño y muy dispersos , Sampaio Filho, C., Moreira, A., Andrade, R. et al. Sci Rep 5, 9082 (2015) doi: 10.1038 / srep09082

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